Моделирование случайных процессов

Откройте рабочую книгу "Случайные процессы" и загрузите себе копию.

Как связаны теория вероятностей и азартные игры?

Теория вероятностей как математическая наука сформировалась на основе изучения азартных игр. Эти игры с незапамятных времен создавались рядом поколений именно так, чтобы в них исход опыта был независим от поддающихся наблюдению условий опыта, был чисто случайным. Самое слово «азарт» (фр. «le hazard») означает «случай». 

В пылу азарта игрок не способен здраво оценить свои шансы на выигрыш

Схемы азартных игр дают исключительные по простоте и прозрачности модели случайных явлений, позволяющие в наиболее отчетливой форме наблюдать и изучать управляющие ими специфические законы; а возможность неограниченно повторять один и тот же опыт обеспечивает экспериментальную проверку этих законов в условиях действительной массовости явлений.

Опыты Якова Бернулли

Крупный шаг вперед в развитии теории вероятностей связан с работами Якова Бернулли (1654 - 1705). Ему принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей – так называемого закона больших чисел.

Якоб Бернулли

Еще до Якова Бернулли многие отмечали как эмпирический факт ту особенность случайных явлений, которую можно назвать «свойством устойчивости частот при большом числе опытов». Было неоднократно отмечено, что при большом числе опытов, исход каждого из которых является случайным, относительная частота появления каждого данного исхода имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь к некоторому определенному числу – вероятности этого исхода.

Например, если много раз бросать монету, относительная частота появления герба приближается к ½; при многократном бросании игральной кости частота появления грани с пятью очками приближается к 1/6 и т.д. Яков Бернулли впервые дал теоретическое обоснование этому эмпирическому факту.

Теорема Якова Бернулли – простейшая форма закона больших чисел – устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления; при достаточно большом числе опытов модно с практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частоты с вероятностью.

Что такое случайное событие?  

Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. 

Элементарным исходом называется один из взаимоисключающих друг друга вариантов, которыми может завершиться случайный эксперимент.

Элементарным событием называется исход, неделимый на более мелкие исходы.

Свойства случайных событий

• несовместные события, т.е. появление одного из событий в единичном испытании исключает появление другого события в этом же испытании;
• единственно возможные события - при рассмотрении группы этих событий не может произойти никакое другое событие, не входящее в эту группу;
• равновозможные события, т.е. ни у одного из событий нет каких-либо преимуществ перед другими.

Классическое определение вероятности

Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных исходов m к общему числу несовместных единственно возможных и равновозможных исходов n.

Р(А) =  m / n

Функции Excel, которые мы будем использовать для моделирования случайных процессов:

Функция	Русское название	Категория	Результат работы
RAND()	СЛЧИС()	Математические	Дает случайное число в диапазоне от 0 до 1
RANDBETWEEN()	СЛУЧМЕЖДУ()	Математические	Дает случайное целое число в диапазоне от верхней до нижней границы
IF()	ЕСЛИ()	Логические	Дает одно из двух вариантов значений в зависимости от того, выполняется или нет заданное условие

Аргументы функции IF():

Аргументы	Значения
Лог_выражение	Равенство или неравенство, принимающее значение TRUE или FALSE
Значение_если_истина	Значение, которое примет функция, если ЛОГ_ВЫРАЖЕНИЕ примет значение ИСТИНА
Значение_если ложь	Значение, которое примет функция, если ЛОГ_ВЫРАЖЕНИЕ примет значение ЛОЖЬ